Rumus Binom Newton beserta Contohnya

Dalam perkembangannya, teori peluang sangat berkaitan erat dengan perhitungan peluang (probabilitas) atau kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Suatu kejadian merupakan bagian dari suatu kejadian yang lebih besar atau ruang sample. Untuk menentukan peluang suatu kejadian perlu menentukan terlebih dahulu berapa banyak kejadian itu dapat terjadi dan berapa banyak ruang sampelnya dapat terjadi.

Binomial Newton adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Dalam Binomial Newton menggunakan koefisien-koefisien (a + b)n.

Misalnya, n = 2 didapat: (a + b)2 = (1) a2 + 2ab + (1)b2

Koefisien-koefisien hasil penjabaran (a + b)2 adalah 1, 2, 1 yang senilai dengan C(2,0) dan C(2,2) dapat ditulis

Capture-24.png

kombinasi dan binominal newton

Contoh:

Suku ke-7 dari (2x + y)15 adalah …

Jawab :

n = 15

r = 7 – 1 = 6

maka :

Capture-25.png

 

Sejarah

Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:

Abad ke-4 SM [[matematikawan Yunani]] Euklides menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2. Ada bukti bahwa teorema binomial untuk kubus telah diketahui pada abad ke-6 di India.

Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih k objek dari n tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah Chandaḥśāstra karya penulis Hindu, Pingala (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya. Seorang peneliti bernama Halayudha dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai segitiga Pascal. Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} , dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 Lilavati karya Bhaskara.

Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ke-11, Al-Karaji, yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial. Ia juga memberikan pembuktian matematika dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari induksi matematika. Penyari dan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang. Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama Yang Hui dan Zhu Shijie. Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan Jia Xian, meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.