Kecepatan sebuah partikel yang sedang bergerak pada saat partikel tersebut berada pada posisi X1 dan X2 dapat diperoleh dengan mencari gradien garis singgung di titik A dan titik B. Perhatikanlah gambar di bawah ini.
Cara untuk menentukan gradien garis singgung ada dua yaitu:
1. Cara grafis.
Partikel yang sedang bergerak dalam arah sumbu X seperti pada gambar berikut.
 |
| Gerak partikel pada arah sumbu X |
- Menentukan titik pada grafik pada saat t = 1 detik
- Membuat garis singgung pada titik tersebut
- Membuat du buah titik pada garis tersebut sehingga dapat dihitung ∆X dan ∆t.
- Menghitung nilai Vt dengan persamaan Vt = ∆X / ∆t (∆X dibagi ∆t)
Contoh : pada grafik di atas besarnya Vt pada saan t = 1 detik dan t = 3 detik adalah:
2. Cara turunan fungsi
Pada sebuah partikel yang sedang bergerak dalam arah sumbu X bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi dari waktu seperti X = f (t). Untuk mencari kecepatan sesaat adalag menentukan turunan pertama dari fungsi tersebut. Menentukan Vt = dx/dt (dx dibagi dt).
Jika a = atb dengan a dan b adalah konstanta, maka turunan pertama x terhadap t adalah dx/dt = abt(b-1).
Contoh :
Latihan :
1. Sebuah benda bergerak dalam arah sumbu X dengan posisi benda x = 25t – t2. Tentukan kecepatan benda pada saat t = 4 detik dan t = 8 detik!
2. Sebuah partikel yang sedang bergerak pada sumbu X pada posisi X = 20t – 3t2. Tentukan kecepatan benda pada saat t = 3 detik dan 4 detik.
Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang mendekati nol. Kecepatan sesaat dinotasikan dengan vt. Ada dua cara untuk menentukan kecepatan sesaat pada suatu benda atau partikel yang bergerak yakni dengan mencari kemiringan (gradien) garis singgung di suatu titik dan dengan turunan fungsi vektor posisi.
- Kemiringan Garis Singgung Di Suatu Titik
Apabila perpindahan r(m) suatu titik dilambangkan dalam sumbu X dan waktu t(s) dalam sumbu Y maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjuk kan oleh kemiringan garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar di bawah berikut ini.
Bagaimana menentukan kecapatan sesaat pada t = 2? Berikut langkah-langkah untuk menentukan kecepatan sesaat.
Langkah 1. Tentukan titik pada grafik pada saat t = 2
Langkah 2. Gambar garis singgung pada titik tersebut.
Langkah 3. Tentukan dua buah titik pada garis hingga bisa dihitung Δx dan Δt
Langkah 4. Hitunglah nilai vt dengan persamaan vt = Δx/Δt
Berdasarkan ke empat langkah di atas, maka kecepatan sesaat untuk t = 2 yakni:
vt = Δx/Δt
vt = (5 – 2)/(4 – 1)
vt = 3/3
vt = 1 m/s
Apabila kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif, berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah perpindahan benda. Demikian pula jika kecepatan saat itu adalah nol maka benda dikatakan tidak berpindah.
- Dengan Turunan Fungsi Vektor Posisi
Untuk mencari kecepatan sesaat dengan cara menurunkan vektor posisi, kamu harus paham dengan konsep turunan fungsi. Apa yang dimaksud dengan turunan fungsi? Silahkan baca materi cara menghitung turunan fungsi yang sederhana.
Penulisan kecepatan sesaat yang berupakan harga limit Δr/Δt untuk mendekati nol dapat dinyatakan dengan dr/dt. Pernyataan tersebut menunjukkan diferensial atau turunan dari perubahan posisi dan dirumuskan:
v = dr/dt
Jika benda atau partikel bergerak searah sumbu x maka kecepatan sesaatnya merupakan turunan perubahan posisi pada sumbu x yang dapat ditulis:
v =dx/dt
Sedangkan, jika benda atau partikel bergerak searah sumbu y maka persamaan kecepatan sesaatnya merupakan turunan perubahan posisi pada sumbu y yang dapat ditulis:
v =dy/dt
Jika perpindahan dinyatakan dengan meter dan waktu dalam sekon maka kecepatan sesaat dinyatakan dalam m/s. Pengguna an istilah kecepatan sesaat sering bermakna ganda, yaitu berarti kecepatan sesaat atau besar kecepatan sesaat atau laju. Oleh karena itu, kalian harus membedakan pengertian laju sesaat yang hanya menunjukkan besar kecepatan sesaat dan kecepatan sesaat yang menunjukkan berapa cepatnya suatu benda dan kemana arahnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut!
Contoh Soal 1
Sebuah partikel bergerak lurus ke arah sumbu x dengan persamaan x = 5t2 + 4t – 1, x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan posisi benda dan kecepatan sesaat pada waktu t = 2 sekon!
Penyelesaian:
Untuk mencari posisi benda dengan cara memasukan nilai t = 2 ke persamaan x maka:
x = 5t2 + 4t – 1
x = 5(2)2 + 4(2) – 1
x = 20 + 8 – 1
x = 27 m
Sedangkan untuk mencari kecepatan sesaat pada saat t = 2, pertama menurunkan fungsi x sehingga:
v =dx/dt
v =d(5t2 + 4t – 1)/dt
v = 10t – 4
Maka kecepatan sesaat pada t = 2 yakni:
v = 10t – 4
v = 10.2 – 4
v = 20 – 4
v = 16 m/s
Contoh Soal 2
Sebuah partikel bergerak vertikal ke atas dengan persamaan y = 20t – t2, y dalam meter dan t dalam sekon. Hitunglah:
- posisi benda pada saat t = 2 sekon
- kecepataan pada saat = 2 sekon
- waktu untuk mencapai tinggi maksimum
- posisi partikel pada saat tinggi maksimum
Penyelesaian:
- untuk mencari posisi benda pada saat t = 2 sekon, dapat dilakukan dengan memasukan nilai t = 2 ke persmaaan y = 20t – t2, maka:
y = 20t – t2
y = 20.2 – 22
y = 40 – 4
y = 36 m
- untuk mencari kecepatan pada saat t = 2, pertama kamu harus mendiferensialkan fungisi vektor posisi yakni:
v =dy/dt
v =d(20t – t2)/dt
v = 20 – 2t
Maka kecepatan sesaat pada t = 2 yakni:
v = 20 – 2t
v = 20 – 2.2
v = 20 – 4
v = 16 m/s
- Untuk mencapai ketinggian maksimum partikel akan berhenti sesaat sebelum akhirnya kembali jatuh ke bawah. Pada saat mencapai titik tertinggi kecepatan partikel akan menjadi nol karena diam sesaat, maka:
v =dy/dt
v =d(20t – t2)/dt
v = 20 – 2t, ingat v = 0, maka:
0 = 20 – 2t
20 = 2t
t = 10 sekon.
Jadi partikel akan mencapai tinggi maksimun setelah bergerak selama 10 detik.
- partikel mencapai tinggi maksimum setelah bergerak selama 10 detik, dengan memasukan t = 10, ke fungsi y = 20t – t2, maka:
y = 20t – t2
y = 20.10 – (10)2
y = 200 – 100
y = 100 m
jadi ketinggian maksimum yang dicapai partikel adalah 100 m